El trabajo se enfocará en probar la existencia de soluciones no triviales para un sistema de ecuaciones en derivadas parciales de tipo elíptico y hamiltoniano en un ambiente bidimensional, con no linealidades que poseen un crecimiento de tipo exponencial maximal, motivados por las desigualdades de Trudinger-Moser. Este tipo de sistemas hamiltonianos han sido extensamente estudiados dado que su formulación representa adecuadamente la modelación de ciertos fenómenos físicos, químicos y biológicos. Con respecto a las no linealidades involucradas en el sistema de ecuaciones se ha conseguido probar la existencia de soluciones para sistemas con crecimiento maximal para los casos subcrítico y crítico, donde el problema para caso supercrítico está aún sin resolver. En la presente investigación se propone probar la existencia de soluciones para un sistema elíptico con funciones con crecimiento supercrítico, para este objetivo se pretende utilizar los espacios generalizados de Lorentz-Sobovev, espacios de Orlizc-Sobolev y espacios con peso, junto a la teoría varacional como el Teorema del enlace y una aproximación de tipo finito-dimensional. Los métodos científicos a utilizar en esta propuesta serán el método axiomático junto con método analítico-sintético Los resultados esperados serán probar la existencia de soluciones de problema propuesto así como dar una interpretación de su comportamiento, que permita explicar y comprender los fenómenos que se formulan a través del presente modelo matemático descrito por un sistema hamiltoniano de ecuaciones elípticas.